初二 第七講 根式及其運算

二次根式的概念、性質以及運算法則是根式運算的基礎，在進行根式運算時，往往用到絕對值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數法等有關知識與解題方法，也就是說，根式的運算，可以培養同學們綜合運用各種知識和方法的能力．下面先復習有關基礎知識，然后進行例題分析．

　　二次根式的性質：

　　二次根式的運算法則：

　　設a，b，c，d，m是有理數，且m不是完全平方數，則當且僅

　　例1 化簡：

　　因為x-2＜0，1-x＜0，所以

　　原式=2-x+x-1=1．

　　　　　　＝a-b-a+b-a+b=b-a．

　　說明 若根式中的字母給出了取值范圍，則應在這個范圍內進行化簡；若沒有給出取值范圍，則應在字母允許取值的范圍內進行化簡．

　　例2 化簡：

　　分析 兩個題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，這樣計算化簡較繁．我們可以先將分母因式分解后，再化簡．

　　解法1 配方法．

　　配方法是要設法找到兩個正數x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，則

　　解法2 待定系數法．

　　例4 化簡：

　　(2)這是多重復合二次根式，可從里往外逐步化簡．

　　分析 被開方數中含有三個不同的根式，且系數都是2，可以看成

　　解 設

　　(xyz)²=5×7×35=35²．

　　因為x，y，z均非負，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

　　⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z顯然滿足①，所以

　　解 設原式=x，則

　　解法1 利用(a＋b)³＝a³＋b³＋3ab(a＋b)來解．

　　(x-4)(x²＋4x＋10)＝0．

　　x²＋4x＋10＝(x＋2)²＋6＞0，

　　所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．

　　解法2

　　說明 解法2看似簡單，但對于三次根號下的拼湊是很難的，因此本題解法1是一般常用的解法．

　　例8 化簡：

　　解(1)

　　解 用換元法．

　　解 直接代入較繁，觀察x，y的特征有

　　3x²-5xy＋3y²＝3x²＋6xy＋3y²-11xy

　　　　　　　 ＝3(x＋y)²-11xy

　　 　　　　　＝3×10²-11×1＝289．

　　例11 求

　　分析 本題的關鍵在于將根號里的乘積化簡，不可一味蠻算．

　　解 設根號內的式子為A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a²-b²，所以

　　A＝(2-1)(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)…(2²56＋1)＋1

　　＝(2²-1)(2²＋1)(2⁴＋1)(2⁸＋1)…(2²56＋1)＋1

　　＝(2⁴-1)(2⁴＋1)(2⁸＋1)(2¹⁶＋1)…(2²56＋1)＋1

　　＝…＝(2²56-1)(2²⁵⁶＋1)＋1

　　＝2^2×256-1＋1＝2^2×256，

　　分析與解 先計算幾層，看一看有無規律可循．

　　解 用構造方程的方法來解．設原式為x，利用根號的層數是無限的特點，有

　　x⁴-4x²＋4＝2＋x，所以x⁴-4x²-x＋2＝0．

　　觀察發現，當x＝-1，2時，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，將方程左端因式分解，有

　　(x＋1)(x-2)(x²＋x-1)＝0．

　　解 因為

　　1．化簡：

　　2．計算：

　　3．計算：

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