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來源：初中數(shù)學競賽 2005-09-09 16:09:35
方程ax2+bx+c=0(a≠0)稱為一元二次方程．
一元二次方程的基本解法有開平方法、配方法、公式法和國式分解法．
對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac稱為該方程的根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即
當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即
當△＜0時，方程無實數(shù)根．
分析 可以使用公式法直接求解，下面介紹的是采用因式分解法求解．
因為
所以
例2 解關于x的方程：
x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．
解 用十字相乘法分解因式得
[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，
所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．
例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的較大根為a，方程x2+1998x-1999=0的較小根為β，求α-β的值．
解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得
(20002x+1)(x-1)=0，
(x+1999)(x-1)=0，
故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以
α-β=1-(-1999)=2000．
例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．
分析 本題容易犯的錯誤是約去方程兩邊的(x-1)，將方程變?yōu)?/FONT>
3x-1=4x+1，
所以x=-2，這樣就丟掉了x=1這個根．故特別要注意：用含有未知數(shù)的整式去除方程兩邊時，很可能導致方程失根．本題正確的解法如下．
解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，
(x-1)(x+2)=0，
所以 x1=1，x2=-2．
例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．
分析 本題含有絕對值符號，因此求解方程時，要考慮到絕對值的意義．
解法1 顯然x≠0．當x＞0時，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．當x＜0時，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．
所以原方程的根為x1=4，x2=-4．
解法2 由于x2=｜x｜2，所以
｜x｜2-3｜x｜-4=0，
所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，
所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．
所以 x1=4，x2=-4．
例6 已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
有一個根為2，求另一個根，并確定a的值．
解 由方程根的定義知，當x=2時方程成立，所以
3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，
故a=3．原方程為
3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，
例7 解關于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．
分析 含有字母系數(shù)的方程，一般需要對字母的取值范圍進行討論．
當c=0時，x1=x2=0；
當ac＞0(即a，c同號時)，方程無實數(shù)根．
例8 解關于x的方程：
(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．
分析 討論m，由于二次項系數(shù)含有m，所以首先要分m-1=0與m-1≠0兩種情況(不能認為方程一定是一元二次方程)；當m-1≠0時，再分△＞0，△=0，△＜0三種情況討論．
解 分類討論．
(1)當m=1時，原方程變?yōu)橐辉淮畏匠?/FONT>
x-2=0，
所以x=2．
(2)當m≠1時，原方程為一元二次方程．
△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．
例9 解關于x的方程：
a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．
解 整理方程得
(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．
(1)當a2-a≠0，即a≠0，1時，原方程為一元二次方程，因式分解后為
[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，
(2)當a2-a=0時，原方程為一元一次方程，當a=0時，x=0；當a=1時，x=2．
例10 求k的值，使得兩個一元二次方程
x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0
有相同的根，并求兩個方程的根．
解 不妨設a是這兩個方程相同的根，由方程根的定義有
a2+ka-1=0， ①
a2+a+(k-2)=0． ②
①-②有
ka-1-a-(k-2)=0，
即 (k-1)(a-1)=0，
所以k=1，或a=1．
(1)當k=1時，兩個方程都變?yōu)?/FONT>x2+x-1=0，所以兩個方程有兩個相同的根
沒有相異的根；
(2)當a=1時，代入①或②都有k=0，此時兩個方程變?yōu)?/FONT>
x2-1=0，x2+x-2=0．
解這兩個方程，x2-1=0的根為x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根為x1=1，x2=-2．x=1為兩個方程的相同的根．
例11 若k為正整數(shù)，且關于x的方程
(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
有兩個不相等的正整數(shù)根，求k的值．
解 原方程變形、因式分解為
(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，
即
4，7．所以k=2，3使得x1，x2同時為正整數(shù)，但當k=3時，x1=x2=3，與題目不符，所以，只有k=2為所求．
例12 關于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有實根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，確定m的取值范圍．
解 不妨設方程的根α≥β，由求根公式得
｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，
符合要求，所以m2≤1．
例13 設a，b，c為△ABC的三邊，且二次三項式x2+2ax+b2與x2+2cx-b2有一次公因式，證明：△ABC一定是直角三角形．
證 因為題目中的兩個二次三項式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0必有公共根，設公共根為x0 ，則
兩式相加得
若x0=0，代入①式得b=0，這與b為△ABC的邊不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得
(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，
整理得
a2=b2+c2
所以△ABC為直角三角形．
例14 有若干個大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形時比擺成正方形時每邊多兩個球，求球的個數(shù)．
解 設小球擺成正三角形時，每邊有x個球，則擺成正方形時每邊有(x-2)個球．此時正三角形共有球
此時正方形共有(x-2)2個球，所以
即 x2-9x+8=0，
x1=1，x2=8．
因為x-2≥1，所以x1=1不符合題意，舍去．所以x=8，此時共有球(x-2)2=36個．
練 習 九
1．解方程：
(2)20x2+253x+800=0；
(3)x2+｜2x-1｜-4=0．
2．解下列關于x的方程：
(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；
(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．
3．若對任何實數(shù)a，關于x的方程
x2-2ax-a+2b=0
都有實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．
4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一個公共根，求(a+b)2000的值．
5．若a，b，c為△ABC的三邊，且關于x的方程
4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有兩個相等的實數(shù)根，試證△ABC是等邊三角形．
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