第十四講 中位線及其應用

　　例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面積．

　　分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質及條件中所給出的數量關系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長．

　　解 由已知，E，F分別是AB，BD的中點，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以

　　由條件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，

　　從而 AD=8(厘米)，

　　由于E，G分別是AB，AC的中點，所以EG是△ABC的一條中位線，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，

　　顯然，AD是BC上的高，所以

　　例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

　　(1)求證：GH∥BC；

　　(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

　　分析 若延長AG，設延長線交BC于M．由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點；同樣，延長AH交BC于N，H是AN的中點，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進而，利用△ABC的三邊長可求出GH的長度．

　　(1)證 分別延長AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

　　從而，G是AM的中點．同理可證

△ACH≌△NCH(ASA)，

　　從而，H是AN的中點．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即

HG∥BC．

　　(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

　　又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，

MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

MN=18-4-9=5(厘米)，

　　說明 (1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”．

　　(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對邊”．同學們不妨自己證明．

　　(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結論GH∥BC仍然成立．同學們也不妨試證．

　　例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內的一點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點．求證：A′C′=B′D′．

　　分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點，有經驗的同學知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′與B′D′則是它的對角線，從而四邊形A′B′C′D′應該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點．

　　證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，

C′D′∥AB，D′A′∥PQ，

　　所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

AB⊥PQ，

　　所以 A′B′⊥B′C′，

　　所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以

　　A′C′=B′D′． ①

　　說明 在解題過程中，人們的經驗常可起到引發聯想、開拓思路、擴大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經驗，對尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結，積累經驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．

　　例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F分別是AC，BD的中點．求證：

　　分析 在多邊形的不等關系中，容易引發人們聯想三角形中的邊的不形中構造中位線，為此，取AD中點．

　　證 取AD中點G，連接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點)，所以

　　同理，由F，G分別是BD和AD的中點，從而，FG是△ABD的中位線，所以

　　在△EFG中，

EF＞EG-FG． ③

　　例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．

　　分析 本題等價于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

　　在E點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解．

　　證 取梯形另一腰AD的中點F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以

　　因為AD=AB+CD，所以

∠1=∠2，∠3=∠4，

　　所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內角和等于180°)．從而

∠AED=∠2+∠3=90°，

　　所以 DE⊥AE．

　　例6 如圖2-60所示．△ABC外一條直線l，D，E，F分別是三邊的中點，AA₁，FF₁，DD₁，EE₁都垂直l于A₁，F₁，D₁，E₁．求證：

AA₁+EE₁=FF₁+DD₁．

　　分析 顯然ADEF是平行四邊形，對角線的交點O平分這兩條對角線，OO₁恰是兩個梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．

　　證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對角線AE，DF互相平分，設它們交于O，作OO₁⊥l于O₁，則OO₁是梯形AA₁E₁E及FF₁D₁D的公共中位線，所以

　　即 AA₁+EE₁=FF₁+DD₁．

　　1．已知△ABC中，D為AB的中點，E為AC上一點，AE=2CE，CD，BE交于O點，OE=2厘米．求BO的長．

　　2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長．

　　3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分別是AB，BC，AC的中點．求證：∠BFE=∠EGD．

　　4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F分別是CD，AB的中點，延長AD，BC，分別交FE的延長線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．

　　5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分別是BC，CA，AB的中點(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．

　　6．如圖2-63所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．

　　7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F分別是AB，CD

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