第十八講 歸納與發現的重要作用

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

　　例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，…這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

　　分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．

第一層有點數：1；

第二層有點數：1×6；

第三層有點數：2×6；

第四層有點數：3×6；

第n層有點數：(n-1)×6.

　　因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為

　　例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

　　(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

　　(2)這n個圓共有多少個交點？

　　分析與解 (1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．

　　由表18．1易知

S₂-S₁=2，

S₃-S₂＝3，

S₄-S₃＝4，

S₅-S₄＝5，

S_n-S_n-1＝n．

　　把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

S_n-S₁＝2＋3＋4＋…＋n，

　　因為S₁=2，所以

　　下面對S_n-S_n-1=n，即S_n=S_n-1＋n的正確性略作說明．

　　因為S_n-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1＋n．

　　(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．

　　由表18．2容易發現

a₁＝1，

a₂-a₁＝1，

a₃-a₂＝2，

a₄-a₃＝3，

a₅-a₄＝4，

a_n-1-a_n-2＝n-2，

a_n-a_n-1＝n-1．

　　n個式子相加

　　注意 請讀者說明a_n=a_n-1＋(n-1)的正確性．

　　例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

　　分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

　　(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

　　(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

　　這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．

　　(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．

　　這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．

　　通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

　　這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，…，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

　　例4 設1×2×3×…×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

　　分析與解 先觀察特殊情況：

　　(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

　　(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

　　(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

　　(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

　　由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.

　　1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

　　　　　=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

　　　　　=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

　　　　　=2！×3+3！×3+…＋n！×n

　　　　　=3！+3！×3+…+n！×n＝…

　　　　　=n！+n！×n=(n＋1)！，

　　所以原式=(n+1)！-1.

　　例5 設x＞0，試比較代數式x³和x²+x+2的值的大小．

　　分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有

x³＜x²+x+2．①

　　設x=10，則有x³=1000，x²+x＋2=112，所以

x³＞x²+x+2．②

　　設x=100，則有x³＞x²+x+2．

　　觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x³＜x²+x+2；當x值較大時，x³＞x²+x+2．

　　那么自然會想到：當x=？時，x³=x²+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x³=x²＋x＋2，則

x³-x²-x-2＝0，

(x³-x²-2x)＋(x-2)=0，

(x-2)(x²+x+1)=0．

　　因為x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

　　(1)當x=2時，x³=x²+x+2；

　　(2)當0＜x＜2時，因為

x-2＜0，x²+x+2＞0，

　　所以 (x-2)(x²＋x+2)＜0，

x³-(x²＋x+2)＜0，

　　所以 x³＜x²＋x＋2.

　　(3)當x＞2時，因為

x-2＞0，x²+x+2＞0，

　　所以 (x-2)(x²+x+2)＞0，

x³-(x²＋x＋2)＞0，

　　所以 x³＞x²＋x＋2．

　　綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．

　　分析 先由特例入手，注意到

　　例7 已知E，F，G，H各點分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上(如圖2―101)．

　　(2)當上述條件中比值為3，4，…，n時(n為自然數)，那S么S_{四邊形EFGH}與S_{四邊形ABCD}之比是多少？

　　G引GM∥AC交DA于M點．由平行截割定理易知

　　(2)設

　　當k=3，4時，用類似于(1)的推理方法將所得結論與(1)的結論列成表18．5.

　　觀察表18．5中p，q的值與對應k值的變化關系，不難發現：當k=n(自然數)時有

　　1．試證明例7中：

　　2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：

　　(1)這n條直線共有多少個交點？

　　(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

　　然后做出證明.)

　　4．求適合x⁵=656356768的整數x．

　　(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：50⁵＜656356768＜60⁵，所以50²＜x＜60²．)

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