初一數(shù)學(xué)3.4一元二次方程知識(shí)拓展-實(shí)際問(wèn)題與方程
古代方程發(fā)展史中國(guó)古代是一個(gè)在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國(guó)家，用近代科目來(lái)分類的話，可以看出無(wú)論在算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角各方而都十分發(fā)達(dá)。現(xiàn)在就讓我們來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下初等數(shù)學(xué)在中國(guó)發(fā)展的歷史。
(一)屬于算術(shù)方面的材料大約在3000年以前中國(guó)已經(jīng)知道自然數(shù)的四則運(yùn)算，這些運(yùn)算只是一些結(jié)果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運(yùn)算規(guī)則在后來(lái)的“孫子算經(jīng)”(公元三世紀(jì))內(nèi)有了詳細(xì)的記載。中國(guó)古代是用籌來(lái)計(jì)數(shù)的，在我們古代人民的計(jì)數(shù)中，己利用了和我們現(xiàn)在相同的位率，用籌記數(shù)的方法是以縱的籌表示單位數(shù)、百位數(shù)、萬(wàn)位數(shù)等；用橫的籌表示十位數(shù)、千位數(shù)等，在運(yùn)算過(guò)程中也很明顯的表現(xiàn)出來(lái)。
“孫子算經(jīng)”用十六字來(lái)表明它，“一從十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)。”和其他古代國(guó)家一樣，乘法表的產(chǎn)生在中國(guó)也很早。乘法表中國(guó)古代叫九九，估計(jì)在2500年以前中國(guó)已有這個(gè)表，在那個(gè)時(shí)候人們便以九九來(lái)代表數(shù)學(xué)。現(xiàn)在我們還能看到漢代遺留下來(lái)的木簡(jiǎn)(公元前一世紀(jì))上面寫有九九的乘法口訣。現(xiàn)有的史料指出，中國(guó)古代數(shù)學(xué)書“九章算術(shù)”(約公元一世紀(jì)前后)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則是世界上最早的文獻(xiàn)，“九章算術(shù)”的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和現(xiàn)在我們所用的幾乎完全一樣。
古代學(xué)習(xí)算術(shù)也從量的衡量開始認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，“孫子算經(jīng)”(公元三世紀(jì))和“夏候陽(yáng)算經(jīng)”(公元六、七世紀(jì))在論分?jǐn)?shù)之前都開始講度量衡，“夏侯陽(yáng)算經(jīng)”卷上在敘述度量衡后又記著：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，萬(wàn)乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，萬(wàn)除退四等。”這種以十的方冪來(lái)表示位率無(wú)疑地也是中國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的。小數(shù)的記法，元朝(公元十三世紀(jì))是用低一格來(lái)表示，如13.56作1356。在算術(shù)中還應(yīng)該提出由公元三世紀(jì)“孫子算經(jīng)”的物不知數(shù)題發(fā)展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一術(shù)，這就是中國(guó)剩余定理，相同的方法歐洲在十九世紀(jì)才進(jìn)行研究。
宋朝楊輝所著的書中(公元1274年)有一個(gè)1—300以內(nèi)的因數(shù)表，例如297用“三因加一損一”來(lái)代表，就是說(shuō)297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫損一)。楊輝還用“連身加”這名詞來(lái)說(shuō)明201—300以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。(二)屬于代數(shù)方面的材料從“九章算術(shù)”卷八說(shuō)明方程以后，在數(shù)值代數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)中國(guó)一直保持了光輝的成就。“九章算術(shù)”方程章首先解釋正負(fù)術(shù)是確切不移的，正象我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時(shí)從正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算學(xué)起一樣，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)便豐富了數(shù)的內(nèi)容。
我們古代的方程在公元前一世紀(jì)的時(shí)候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種。
一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。不定方程的出現(xiàn)在二千多年前的中國(guó)是一個(gè)值得重視的課題，這比我們現(xiàn)在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中國(guó)在公元七世紀(jì)的唐代王孝通“緝古算經(jīng)”已有記載，用“從開立方除之”而求出數(shù)字解答(可惜原解法失傳了)，不難想象王孝通得到這種解法時(shí)的愉快程度，他說(shuō)誰(shuí)能改動(dòng)他著作內(nèi)的一個(gè)字可酬以千金。
十一世紀(jì)的賈憲已發(fā)明了和霍納(1786—1837)方法相同的數(shù)字方程解法，我們也不能忘記十三世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家秦九韶在這方面的偉大貢獻(xiàn)。在世界數(shù)學(xué)史上對(duì)方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來(lái)不得不推中國(guó)天元術(shù)的簡(jiǎn)潔明了。四元術(shù)是天元術(shù)發(fā)展的必然產(chǎn)物。級(jí)數(shù)是古老的東西，二千多年前的“周髀算經(jīng)”和“九章算術(shù)”都談到算術(shù)級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù)。
十四世紀(jì)初中國(guó)元代朱世杰的級(jí)數(shù)計(jì)算應(yīng)給予很高的評(píng)價(jià)，他的有些工作歐洲在十八、九世紀(jì)的著作內(nèi)才有記錄。十一世紀(jì)時(shí)代，中國(guó)已有完備的二項(xiàng)式系數(shù)表，并且還有這表的編制方法。歷史文獻(xiàn)揭示出在計(jì)算中有名的盈不足術(shù)是由中國(guó)傳往歐洲的。內(nèi)插法的計(jì)算，中國(guó)可上溯到六世紀(jì)的劉焯，并且七世紀(jì)末的僧一行有不等間距的內(nèi)插法計(jì)算。十四世紀(jì)以前，屬于代數(shù)方面許多問(wèn)題的研究，中國(guó)是先進(jìn)國(guó)家之一。就是到十八，九世紀(jì)由李銳(1773—1817)，汪萊(1768—1813)到李善蘭(1811—1882)，他們?cè)谶@一方面的研究上也都發(fā)表了很多的名著。
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