2019年中考數學趣味數學：兩枚還是三枚

有一種硬幣游戲，其規則是：

1)有一堆硬幣，共十二枚。

2)雙方輪流從中取走兩枚或三枚硬幣。

3)誰取最后一枚硬幣誰輸。

Ⅰ.阿曼德和比福德在玩這種游戲，阿曼德開局，比福德隨后。

Ⅱ.雙方總是盡可能采取能使自己獲勝的步驟;如果無法取勝，就盡可能采取能導致和局的步驟。

這兩人中是否必定會有一人贏?如果這樣，誰會贏?

提示：首先判定當只有一枚硬幣要你取的時候，你是處于穩操勝券的地位，還是處于注定要輸，或者導致和局的地位;然后，判定當只有兩枚硬幣要你取的時候，你是處于穩操勝券的地位，還是處于注定要輸，或者導致和局的地位;如此進行，直至判定有十二枚硬幣要你取的情況。)

答 案

根據{Ⅱ.雙方總是盡可能采取能使自己獲勝的步驟;如果無法取勝，就盡可能采取能導致和局的步驟。}，如果有一方能夠取勝，那他一定要取勝。如果一方能夠逼和假定他不能取勝)，那他一定要逼和。

根據2)和3)：

a)當這堆硬幣中只有一枚硬幣要取的時候、顯然游戲只能以和局告終，因為誰也不能取。

b)當這堆硬幣中有兩枚硬幣要取的時候，取者必輸。這是因為他必須取走這兩枚硬幣。

c)當這堆硬幣中有三枚硬幣要取的時候，取者只能采取逼和的策略。這是因為如果他一下子把三枚硬幣全都取走，那他就輸了;于是他只取走兩枚硬幣，這樣對方就不能取了。

d)當這堆硬幣中有四枚硬幣要取的時候，取者可以取走兩枚硬幣從而獲勝，因為這樣就使對方陷入了只有兩枚硬幣要取的必敗境地。如果他取走三枚硬幣游戲就以和局告終。

e)當這堆硬幣中有五枚硬幣要取的時候，如果取者能夠留下一定枚數的硬幣從而使對方陷于必敗的境地，那他就贏了。因此，他取走了三枚硬幣，使對方陷入了只有兩枚硬幣要取的必敗境地。

f)當這堆硬幣中有六枚硬幣要取的時候，取者只能采取逼和的策略。他可以取走三枚硬幣，這就造成了有三枚硬幣要取的必和局面。如果他只取走兩枚硬幣，就把有四枚硬幣要取的必勝機會留給了對方。

按照這樣的推理，可以發現，當這堆硬幣中有兩枚、七枚或十二枚硬幣要取的時候，取者注定要輸;當這堆硬幣中有四枚、五枚、九枚或十枚硬幣要取的時候，取者穩操勝券;這堆硬幣中有一枚、三枚、六枚、八枚或十一枚硬幣要取的時候，游戲必以和局告終。

下列三表總結了這三類情況分別是怎樣注定導致失敗、怎樣穩步走向勝利和怎樣以和局告終的。#p#分頁標題#e#

根據{1)有一堆硬幣，共十二枚。}，開始時有十二枚硬幣。由于十二枚硬幣是注定要輸的局面，誰開局誰必輸。根據{Ⅰ.阿曼德和比福德在玩這種游戲，阿曼德開局，比福德隨后。}，是阿曼德開局，故阿曼德必輸。因此比福德必贏。

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