2019年中考數(shù)學一道解《多邊形的內(nèi)角和》題型的十種解法

在一次《多邊形的內(nèi)角和》的課堂上，有一個教學環(huán)節(jié)是這樣設計的：讓學生思考任意一個四邊形的內(nèi)角和是多少?用這種方法能否求五邊形、六邊形等多邊形的內(nèi)角和?[1]而在課堂上，同學們給出了許多種求四邊形內(nèi)角和的方法，雖然有的方法不太適合推廣到五邊形、六邊形，但其中不乏有課前我沒有意料到的方法，當然我也沒想到學生們會有如此多的方法。為了不打斷學生的想法，給學生一個展示自我的機會，更為了拓展學生的思維，我抓住了這一難得的機會，充分讓學生展示他們活躍的思維，而把預先準備的一些內(nèi)容放到了下一節(jié)課。我不知道這樣做好不好，但至少有一點，學生們主動地進行了觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動，這是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，增強了學生學習數(shù)學的興趣，使不同的人在數(shù)學上得到了不同的發(fā)展[2]。下面就一一列舉學生們的解法，其中解法一～解法五是預先設計的。

解法一：如圖1，連接AC，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于兩個三角形內(nèi)角和的和，即180°×2=360°。

解法二：如圖2，連接AC、BD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于四個三角形內(nèi)角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。

解法三：如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)取一點P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于四個三角形內(nèi)角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。

解法四：如圖4，在BC邊上取一點P，連接PA、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于三個三角形內(nèi)角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

解法五：如圖5，在四邊形ABCD外取一點P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于三個三角形內(nèi)角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

解法六：如圖6，連接BD，延長BA至E，延長BC至F，∵∠EAD=∠ABD ∠BDA，∠FCD=∠CBD ∠BDC，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和等于(∠EAD ∠BAD) (∠FCD ∠BCD)=180° 180°=360°。

解法七：如圖7，過點A、D分別作BC的平行線AE、DF，則∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和等于∠BAD ∠EAB (∠CDF ∠CDA)=∠BAD ∠EAB ∠ADF =∠BAD ∠EAB ∠EAD =360°。

解法八：如圖8，過點A、D分別作BC的垂線AE、DF，垂足分別為E、F，過點A作DF的垂線AG，垂足為G，則∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B ∠BAE，∠DFB=∠C ∠CDF，∠AGF=∠DAG ∠ADF，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和等于∠AEC ∠DFB ∠AGF ∠EAG=90°×4=360°。 #p#分頁標題#e#

解法九：若AB//CD，則∠B ∠C=∠A ∠D=180°，∴∠B ∠C ∠A ∠D=360°;若AB不平行于CD，如圖9，不妨設BA、CD的延長線相交于點E，∵∠BAD=∠E ∠ADE，∠ADC=∠E ∠EAD，∴∠B ∠C ∠BAD ∠ADC=(∠B ∠C ∠E) (∠ADE ∠E ∠EAD) =180° 180°=360°。綜上可得，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°

解法十：連接AC，并延長至G，過點C分別作AD、AB的平行線CE、CF，則∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四邊形ABCD的內(nèi)角和=∠B ∠BAC ∠CAD ∠D ∠BCD =∠FCB ∠FCG ∠ECG ∠DCE ∠BCD =360°。

以上這些證法中，充分發(fā)揮了學生的想象力、綜合運用知識的能力，很好地訓練了學生的思維，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學思想方法地靈活運用，這一點對學生的發(fā)展很重要，而這也是新課程標準所倡導的。這堂課可能是一節(jié)不合格的課，但我還是希望我們數(shù)學老師能在課堂上不斷探索、試驗，大膽創(chuàng)新，只要我們本著新課程的理念，本著以學生的發(fā)展為本，相信中國數(shù)學教育的未來一定會取得輝煌的成績。

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