2022年初中數學實際問題中的不等式組

學習了一元一次不等式組以后，我們可以利用不等式組解決許多與實際密切聯系的問題。解決此類問題的關鍵是要找準不等關系，從而根據不等關系列出不等式組把問題解決。一般情形下，在有關一元一次不等式組的實際問題中，不等關系分為兩種類型。

一、不等關系明顯型

此類問題的特點是在題目中會出現明顯的表示不等關系的關鍵字，如“大于”、“小于”、“不能超過”、“不少于”、“最多”等。

例1 (哈爾濱市)雙蓉服裝店老板到廠家選購A、B兩種型號的服裝，若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據市場需求，服裝店老板決定，購進A型服裝的數量要比購進B型服裝數量的2倍還多4件，且A型服裝最多可購進28件，這樣服裝全部售出后，可使總獲利不少于699元，問有幾種進貨方案?如何進貨?

分析：由題意，本題不等關系非常明顯，由兩個表示不等關系的關鍵字即可看出，即“最多”和“不少于”，因此要解決本題我們可以直接根據這兩個關鍵字列出不等式組。

解：設B型服裝購進x件，則A型服裝購進件，根據題意，得

解得

因為x為整數，所以x=10、11、12

所以、26、28

所以有三種進貨方案：B型服裝購進10件，A型服裝購進24件或B型服裝購進11件，A型服裝購進26件;B型服裝購進12件，A型服裝購進28件。

例2 (連云港市)光明農場有某種植物10000千克，打算全部用于生產高科技藥品和保健食品。若生產高科技藥品，1千克該植物可提煉出0.01千克的高科技藥品，將產生污染物0.1千克，每1千克高科技藥品可獲利潤5000元;每生產1千克保健食品可獲利潤100元。1千克該植物可生產0.2千克保健食品，將產生污染物0.04千克。要使總利潤不低于410000元，所產生的污染物總量不超過880千克，求用于生產高科技藥品的該植物重量的范圍。

分析：由題意很容易發現體現本題不等關系的兩個關鍵字，即“不低于”和“不超過”，因此我們就根據這兩個關鍵字列出不等式組把問題解決。

解：設用于生產高科技藥品的該植物重量為x千克，則用于生產保健食品的該植物重量為(10000-x)千克，根據題意，得

解得

所以用于生產高科技藥品的該植物重量不低于7000千克且不高于8000千克。

二、不等關系隱含型

此類問題的特點是題目中沒有出現表示不等關系的關鍵字，因此不等關系比較含蓄，需要我們從題意中分析得到。

例3 (廣東省茂名市)今年6月份，我市某果農收獲荔枝30噸，香蕉13噸，現計劃租用甲、乙兩種貨車共10輛，將這批水果全部運往深圳，已知甲種貨車可裝荔枝4噸和香蕉1噸，乙種貨車可裝荔枝、香蕉各2噸。

(1)該果農安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案?請你幫助設計出來。

(2)若甲種貨車每輛要付運輸費2000元，乙種貨車每輛要付運輸費1300元，則該果農應選擇哪種方案使運輸費最少?最少運輸費是多少?

分析：本題沒有明顯的不等關系，但是從題意可知本題是一個最優方案設計問題，因此可以建立不等式組模型來解決問題。由題意，本題的不等關系為：10輛甲、乙兩種貨車的運貨總量至少要達到30噸荔枝，13噸香蕉。

解：(1)設安排甲種貨車x輛，則安排乙種貨車(10-x)輛，根據題意，可得

解得5小于等于X大于等于7

因為x為整數，所以x=5、6、7，

所以5、4、3。

所以車輛安排有三種方案：

方案一：甲種車、乙種車各5輛;

方案二：甲種車6輛、乙種車4輛;

方案三：甲種車7輛、乙種車3輛。

(2)方案一，要運輸費：

元

方案二，要運輸費：

元

方案三，要運輸費

元

這說明，方案一所需運輸費最少，為16500元。

例4 (常州市)七(2)班有50名學生，老師安排每人制作一件A型或B型的陶藝品，學校現有甲種制作材料36千克，乙種制作材料29千克，制作A、B兩種型號的陶藝品用料情況如下表：

需甲種材料 需乙種材料

1件A型陶藝品 0.9千克 0.3千克

1件B型陶藝品 0.4千克 1千克

(1)設制作B型陶藝品x件，求x的取值范圍;

(2)請你根據學校現有材料，分別寫出七(2)班制作A型和B型陶藝品的件數。

分析：本題題目中沒有出現明顯的表示不等關系的字，所以不等關系比較隱含，分析題意可發現，制作兩種型號的陶藝品的材料已給出限制，所用材料不能超過這個限制，因此我們就可以根據總材料的限制來列出本題的不等式組。

解：(1)設制作B型陶藝品x件，則制作A型陶藝品為(50-x)件，由題意，得

解得

(2)由(1)知，又因為x為整數，

所以x=18、19、20，50-x=32、31、30

所以七(2)班制作A型和B型陶藝品的件數有三種可能：

可能一：制作A型陶藝32件，B型陶藝18件;

可能二：制作A型陶藝31件，B型陶藝19件;

可能三：制作A型陶藝30件，B型陶藝20件。

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