2023年初中數學解析二元一次方程知識點及應用

復習要求

1、認識二元一次方程(組);

2、了解二元一次方程(組)的解以及求二元一次方程的正整數解;

3、解決有關二元一次方程(組)的實際應用。

二元一次方程的基本內容

1 01二元一次方程

(1)二元一次方程的概念

含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a≠0，b≠0)。

判定二元一次方程必須同時滿足三個條件：

①方程兩邊的代數式都是整式——整式方程;

②含有兩個未知數——“二元”;

③含有未知數的項的次數為 1——“一次”。

(2)二元一次方程的解

使二元一次方程左、右兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。一般情況下，一個二元一次方程有無數個解。

2二元一次方程組

(1)二元一次方程組的概念

由幾個一次方程組成并且含有兩個未知數的方程組，叫二元一次方程組。

注意：二元一次方程組不一定由兩個二元一次方程合在一起：方程可以超過兩個，有的方程可以只有一元(一元方程在這里也可看作另一未知數系數為 0 的二元方程)。

(2)二元一次方程組的解

二元一次方程組的解必須滿足方程組中的每一個方程，同時它也必須是一個數對，而不能是一個數。

(3)二元一次方程組的解法

●a.代入消元法

代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一。

通過等量代換，消去方程組中的一個未知數，使二元一次方程組轉化為一元一次方程，從而求得一個未知數的值，然后再求出被消去未知數的值，從而確定原方程組的解的方法。

步驟：

①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數，例如 y，用另一個未知數如 x 的代數式表示出來，即寫成 y = ax + b 的形式;

② y = ax + b 代入另一個方程中，消去 y ，得到一個關于 x 的一元一次方程;

③解這個一元一次方程，求出 x 的值;

④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，從而得出方程組的解。

●b.加減消元法

加減法是消元法的一種，也是解二元一次方程組的基本方法之一。加減法不僅在解二元一次方程組中適用，也是今后解其他方程(組)經常用到的方法。

步驟：

①變換系數：把一個方程或者兩個方程的兩邊都乘以適當的數，使兩個方程里的某一個未知數的系數互為相反數或相等;

②加減消元：把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程;

③解這個一元一次方程，求得一個未知數的值;

④回代：將求出的未知數的值代入原方程組中，求出另一個未知數的值。

●加減消元方法的選擇：

1、一般選擇系數絕對值最小的未知數消元;

2、當某一未知數的系數互為相反數時，用加法消元;當某一未知數的系數相等時，用減法消元;

3、某一未知數系數成倍數關系時，直接對一個方程變形，使其系數互為相反數或相等，再用加減消元求解;

4、當相同的未知數的系數都不相同時，找出某一個未知數的系數的最小公倍數，同時對兩個方程進行變形，轉化為系數的絕對值相同，再用加減消元求解。

二元一次方程的應用

數學來源于生活又服務于生活，我們把生活實際中的問題，用設未知數的方法用二元一次方程來刻畫，就把實際問題，轉化成了數學問題，這種解題就是數學中的建模思想，它能化難為易化抽象為具體，也是我們學習方程的重點。

列方程組與列一元一次方程基本類似，只不過列二元一次方程組解應用題時，應從題目中找出兩個獨立的相等關系，根據這兩個相等關系列方程組求解。尤其是在七年級沒學好一元一次方程的同學，需要及時有效的補缺。

1、列方程組解應用題的基本思想

列方程組解應用題是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系。

所列方程必須滿足：

(1) 方程兩邊表示的是同類量;

(2) 同類量的單位要統一;

(3) 方程兩邊的數值要相等。

2、二元一次方程組的應用步驟

(1)審題：弄清題意及題目中的數量關系

(2)設未知數：可直接設元，也可間接設元

(3)找等量關系：根據相關公式變量等，找出題目中的等量關系

(4)列方程組：根據題目中能表示全部含義的等量關系列出方程，并組成方程組

(5)解方程組：利用消元法等方法解所列的方程組

(6)檢驗：檢驗解的正確性，是否滿足實際問題

(7)答話：回答題目問題

3常用的基本等量關系1、行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。

其等量關系式是:兩者的行程差=開始時兩者相距的路程。

(2)相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。

這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和=總路程。

(3)航行問題：

①船在靜水中的速度+水速=船的順水速度;

②船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度;

③順水速度-逆水速度=2×水速。

注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。

2、利潤問題：

(1)利潤=售價-成本(進價);

(2)利潤=成本(進價)×利潤率;

(3)標價=成本(進價)×(1+利潤率);

(4)實際售價=標價×打折率;

注意：“商品利潤=售價-成本”中的右邊為正時，是盈利;為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。

(例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十)

3、儲蓄問題：

■(1)基本概念

①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。

②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。

③本息和：本金與利息的和叫做本息和。

④期數：存入銀行的時間叫做期數。

⑤利率：每個期數內的利息與本金的比叫做利率。

⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。

■(2)基本關系式

①利息=本金×利率×期數

②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期數=本金× (1+利率×期數)

③利息稅=利息×利息稅率=本金×利率×期數×利息稅率

④稅后利息=利息× (1-利息稅率)

⑤年利率=月利率×12

注意：當題目中涉及免稅利息時，需要明晰免稅利息=利息

4、數字問題：

解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當n為整數時，奇數可表示為2n+1(或2n-1)，偶數可表示為2n等。

有關兩位數的基本等量關系式為：兩位數=十位數字10+個位數字

5、其他問題：

(1)工程問題：工作效率×工作時間=工作量

(2)增長率問題：原量×(1+增長率)=增長后的量;原量×(1-減少率)=減少后的量

(3)和差倍分問題：較大量=較小量+多余量，總量=倍數×倍量

(4)幾何問題：解決這類問題的基本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式

(5)年齡問題：解決這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的

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