2024年初中數學一元二次方程的有理根和整數根

【典型例題】例1.若關于x的方程(a+1)(a-1)x2-(13a-5)x+36=0的解都是整數，求所有符合條件的整數a的值。

【分析】當方程為一元二次方程時，用因式分解法易得根的表達式，然后利用整除性分析求出符合條件的整數a.

【點評】因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論。

例2.設a,b均為整數，求證：關于x的方程x2+10ax+5b+3=0,x2+10ax+5b-3=0均無整數根。

【分析】可直接從判別式入手，分析其個位數字的特征，得到判別式不可能是平方數，從而證明方程均無整數根。

【點評】一元二次方程有有理根的條件：Δ=b2-4ac為平方數.而完全平方數的末尾數字只能是0, 1,4, 5, 6, 9.

例3.當整數k為何值時，關于x的一元二次方程x2+(k-1)x+k-1=0有兩個有理根.

【分析】一個整系數的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是平方數。

【點評】一元二次方程有理根問題通常可轉化為二元二次不定方程的整數根問題進行求解。

例4.已知關于x的方程mx2+(m+1)x+m-1=0的根是整數，求實數m的值.

【分析】可根據韋達定理得到兩根之和與積，通過消去參數m轉化為關于x1,x2的不定方程整數根問題進行求解。

【點評】通過韋達定理得到關于兩根的不定方程是解決方程整數根問題的常用方法。

例5.已知關于x的方程x2+px+q4=0有兩個不相等的整數根，p,q都是素數，求這個方程的根。

【分析】根據韋達定理，結合p,q都是素數逐步確定p,q的值。

【點評】當方程的根是整數，參數是素數時，一般可以借助韋達定理求解。

例6.試求出所有這樣的正整數a,使得關于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數根。

【分析】利用判別式為完全平方數更換參數，再結合整除性分析求解。

【點評】本題也可把a當作未知數，x看作系數進行更換主元，這種“反客為主”的方法，具有化難為易，化繁為簡之功效。

例7.已知關于x的方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分別各有兩個整數根x1,x2和x'1,x'2且x1x2> 0,x'1x'2> 0.(1)求證：x1<0,x2<0,x'1<0,x'2<0;(2)求證：b-1≤c≤b+1;(3)求b,c所有可能的值.

【分析】(1)利用韋達定理進行判斷;(2)利用根與系數的關系和整數根分別證明b-1≤c和c≤b+1;(3)根據(2)中b-1≤c≤b+1,分c=b+1,c=b,c=b-1三種情況進行求解.

【點評】再次體現了韋達定理在解決方程整數根問題中的重要性。

例8.已知函數y=x2+bx-c的圖象經過兩點P(1,a),Q(2, 10a),且與x軸的交點A,B的橫坐標都是整數，與y軸的交點為C. 求ΔABC的面積。

【分析】如果還沒有學習二次函數，但這里只用到函數圖象的基本概念，即P,Q坐標滿足函數，A,B兩點橫坐標就是方程x2+bx-c=0的兩個根，依題意這是兩個整數根.

【點評】韋達定理解決一元二次方程整數根時，常常需要將兩根和與兩根積相加或相減，使組成的多項式可以分組分解，這樣有利于求整數根。

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